Números, números

Amables lectores, tengan ustedes un buen día.

Hoy inicia el último tercio del año. ¡Felicidades para todos!

Casi todos los grupos humanos tenemos una característica común: contamos las cosas. Irónicamente esto sucede salvo muy contadas excepciones las cuales son sociedades que pudiéramos considerar muy primitivas.

Para la contabilización se han elaborado diferentes bases numéricas. Por ejemplo, en la antigua Mesopotamia se utilizaba el sistema sexagesimal (que tiene como base el número 60) para las operaciones matemáticas. ¿Por qué 60? Aparentemente porque es un número cuya mitad, tercera, cuarta, quinta y sexta partes son números enteros. Y dado que no utilizaban el punto para separar la parte entera de la parte fraccionaria de una cantidad, el número 60 resultaba bastante conveniente. Una gran desventaja de ese sistema es que los antiguos habitantes de aquella región debían aprender las tablas de multiplicar del 1 al 59.

Hace unos dos mil años, Roma dominaba la mayor parte de la geografía del sur de Europa, del norte de África y oeste de Asia menor. Como grupo dominante impusieron el uso de su propio sistema, la numeración romana la cual es un método más o menos sencillo de aprender, pero incómodo al momento de llevar a cabo las operaciones aritméticas más básicas. Por ello fue que ganó aceptación el método utilizado por los árabes (aunque originario de la India).

Ya con el uso de esta notación, se descubrieron algunas sucesiones bastante interesantes. Por ejemplo, a Leonardo de Pisa quien nació a finales del siglo XII se le atribuye la difusión de un problema en el cual se observa el crecimiento de una población de conejos de acuerdo con ciertas reglas. Hay una pareja inicial de conejos en la cual cada período la hembra da a luz solamente a una pareja de macho y hembra. Los nuevos conejitos son fértiles hasta cumplir su segundo período de vida y ningún ejemplar muere. ¿Cuántas parejas de conejos habrá al finalizar cada período?

La respuesta es bastante interesante. Al principio solamente hay una pareja. Luego dos, luego tres, luego cinco, ocho, trece, veintiuna, treinta y cuatro, cincuenta y cinco... Resulta interesante que el número de parejas de un período dado es igual a la suma de las parejas al terminar los dos períodos inmediatos anteriores. Pero aún más sorprendente es el hecho de que al aumentar los períodos, al dividir la cantidad de parejas entre las que había el período inmediato anterior, se obtiene un número que ya era conocido y utilizado por los antiguos griegos: la razón áurea, aproximadamente 1.618.

Esta proporción ha sido utilizada en el arte desde hace miles de años. Se dice que un rectángulo cuyo largo sea 1.61 veces el ancho parecerá más bonito que otro que no tenga esa proporción. Además, en la naturaleza se encuentra desde la disposición de las hojas en un tallo, las proporciones del cuerpo humano y la organización de las estrellas en las galaxias hasta la estructura espiral de los caparazones de ciertos moluscos.

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En la década de los años 40´s del siglo pasado, George Kingsley Zipf descubrió una ley acerca de la frecuencia de la aparición de las diversas palabras en un texto. Por ejemplo, en la novela "Cien años de soledad" hay un total de más de 144,000 palabras. La más repetida es la palabra "de", que aparece un total de 8777 veces. Las otras palabras más frecuentes son "la", "que", "y" y "el" con frecuencias de 5858, 4648, 4104 y 3779 respectivamente.

Según la ley de Zipf, la enésima palabra más frecuente de un texto tendrá una frecuencia cercana a la fracción 1/n de la palabra más frecuente. Lo más asombroso de todo esto es que Zipf realizó este descubrimiento sin el uso de las herramientas de manejo de texto o computacionales de las que disponemos en la actualidad. La ley de Zipf se cumple para la mayoría de los idiomas, incluso para el esperanto.

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Hace ya varias décadas tuve la oportunidad de leer un libro de la colección "Mis primeros conocimientos" en el que se describían algunos trucos de magia. Uno de los que más se quedó grabado en mi memoria trataba acerca de pedirle a una persona que pensara en un número de tres cifras en el que no fuera una sola cifra tres veces. Digamos que la persona hubiera pensado el 123. Ahora bien, si escribimos el número de manera inversa tenemos 321. Si hacemos la resta del mayor menos el menor obtenemos 198. Y si a este último número le añadimos el mismo número invertido (es decir 891) obtenemos 1089. Si lo hacemos con el 456. La resta será 751-157=594 y 594+495=1089. Un último ejemplo. 843-348=495 y 495+594=1089. No funciona cuando se repite la misma cifra tres veces (111, 222, 333, ...) ni cuando la primera cifra es igual que la tercera.

Con cuatro cifras hay algo parecido. Tomemos un número de cuatro cifras (2024). Ahora coloquemos los dígitos de mayor a menor (4220) y restemos el número con las cifras de menor a mayor (0224). Obtenemos 3996. Si repetimos el procedimiento ahora será 9963-3699=6264. Una vez más y ahora será 6642-2466=4176. Ahora tenemos 7641-1467=6174. Por lo mucho en siete pasos llegaremos al 6174. Este número es llamado la constante de Kaprekar en honor al matemático de la India que lo descubrió.

Me quedan algunas otras cosas que quisiera comentarles, pero eso será la próxima vez.

Que tengan ustedes una excelente semana.